【高数都有什么公式】高等数学（简称“高数”）是大学理工科学生必修的一门基础课程，内容涵盖函数、极限、导数、积分、微分方程等多个方面。为了帮助大家更好地掌握高数中的重要公式，本文将对高数中常见的公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数类型 | 函数表达式 | 导数 |
| 常数函数 | $ y = C $ | $ y' = 0 $ |
| 幂函数 | $ y = x^n $ | $ y' = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ y = a^x $ | $ y' = a^x \ln a $ |
| 对数函数 | $ y = \log_a x $ | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 三角函数 | $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| 三角函数 | $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| 三角函数 | $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| 反三角函数 | $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
二、基本初等函数的积分公式
| 函数类型 | 函数表达式 | 不定积分 | ||
| 常数函数 | $ y = C $ | $ \int C \, dx = Cx + C_1 $ | ||
| 幂函数 | $ y = x^n $ | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| 指数函数 | $ y = a^x $ | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| 对数函数 | $ y = \ln x $ | $ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C $ | ||
| 三角函数 | $ y = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| 三角函数 | $ y = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| 三角函数 | $ y = \tan x $ | $ \int \tan x \, dx = -\ln | \cos x | + C $ |
三、常用微分公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 商数法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 隐函数求导 | 若 $ F(x, y) = 0 $，则 $ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $ |
| 参数方程求导 | 若 $ x = x(t), y = y(t) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $ |
四、常用积分技巧与公式
| 积分方法 | 适用情况 | 公式示例 |
| 换元积分法 | 被积函数可表示为复合函数 | $ \int f(u) \, du = \int f(u) \cdot \frac{du}{dx} dx $ |
| 分部积分法 | 适用于 $ \int u \, dv $ | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 有理函数分解 | 分母可因式分解 | $ \frac{P(x)}{Q(x)} = A + \frac{B}{x - a} + \frac{C}{x - b} + \cdots $ |
| 三角代换 | 含有根号或平方项 | 如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $ 用 $ x = a \sin \theta $ 替换 |
五、微分方程常见类型及解法
| 方程类型 | 一般形式 | 解法 |
| 可分离变量 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ | 分离变量后积分 |
| 一阶线性 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ | 使用积分因子法 |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) $ | 令 $ y = vx $，转化为可分离变量 |
| 二阶常系数齐次 | $ ay'' + by' + cy = 0 $ | 特征方程法 |
| 二阶常系数非齐次 | $ ay'' + by' + cy = g(x) $ | 待定系数法或常数变易法 |
总结
高数中的公式种类繁多，但掌握其基本结构和使用方法是关键。通过系统地整理这些公式并结合实际练习，可以有效提高解题能力和理解深度。建议在学习过程中不断回顾、归纳，形成自己的知识体系，避免死记硬背。希望本篇文章能为你提供一个清晰的参考框架，助力你的高数学习之路。