【分数求导数的公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当函数以分数形式出现时，即分子和分母都是关于自变量的函数，我们通常使用“商法则”来求其导数。本文将总结分数求导的基本公式，并通过表格形式清晰展示。
一、分数求导的基本公式
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则该函数的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式称为商法则（Quotient Rule），是处理分数函数求导的核心方法。
二、常见分数函数的导数公式
以下是一些常见的分数函数及其导数，便于快速查阅和应用：
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ |
| $ \frac{x}{a} $（a为常数） | $ \frac{1}{a} $ |
| $ \frac{x^2}{x} $ | $ 1 $（化简后） |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x $ |
| $ \frac{e^x}{x} $ | $ \frac{e^x(x - 1)}{x^2} $ |
| $ \frac{\ln x}{x} $ | $ \frac{1 - \ln x}{x^2} $ |
三、使用商法则的注意事项
1. 分母不能为零：在计算过程中必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则函数无定义。
2. 先化简再求导：如果分子和分母有公因式，可以先约简，再进行求导，简化运算。
3. 注意符号变化：商法则中的减号容易出错，需特别注意顺序：分子导乘分母减分子乘分母导。
4. 复合函数需结合链式法则：如果分子或分母本身是复合函数，则需要结合链式法则一起使用。
四、实例解析
例1：求 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
- 设 $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- 设 $ v(x) = x - 1 $，$ v'(x) = 1 $
根据商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2}
= \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
$$
五、总结
分数函数的导数计算依赖于商法则，掌握这一法则并灵活运用，能够解决大多数分数函数的求导问题。同时，结合实际问题对函数进行化简，有助于提高计算效率和准确性。
通过上述表格和示例，读者可以更直观地理解分数求导的过程与技巧，提升数学分析能力。