【三阶无穷小加四阶无穷小等于几阶】在高等数学中，无穷小量的比较是一个重要的概念。当我们讨论“三阶无穷小”和“四阶无穷小”的相加时，实际上是在探讨它们在自变量趋于0时的相对大小关系。
一、基本概念回顾
- 无穷小：当 $ x \to 0 $ 时，若函数 $ f(x) \to 0 $，则称 $ f(x) $ 是一个无穷小。
- 阶数：若存在常数 $ k > 0 $，使得 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^k} = C \neq 0 $，则称 $ f(x) $ 是 $ x $ 的 k 阶无穷小。
例如：
- $ x^3 $ 是三阶无穷小；
- $ x^4 $ 是四阶无穷小。
二、三阶与四阶无穷小相加的阶数分析
当两个无穷小相加时，其结果的阶数取决于其中较高阶的无穷小。因为高阶无穷小比低阶无穷小更“快地趋近于0”，所以在相加时，它会主导整个表达式的趋势。
因此：
- 三阶无穷小 + 四阶无穷小 = 三阶无穷小
这是因为四阶无穷小在 $ x \to 0 $ 时比三阶无穷小更快趋近于0，所以它的贡献可以忽略不计，整体仍由三阶无穷小主导。
三、总结表格
| 无穷小类型 | 阶数 | 相加后结果 | 阶数说明 |
| 三阶无穷小 | 3 | 三阶无穷小 | 四阶无穷小在极限下影响可忽略 |
| 四阶无穷小 | 4 | 三阶无穷小 | 三阶无穷小主导整体趋势 |
四、实例说明
设：
- $ f(x) = x^3 + x^4 $
当 $ x \to 0 $ 时，$ x^4 $ 比 $ x^3 $ 更快趋近于0，因此：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x^3 + x^4}{x^3} = \lim_{x \to 0} (1 + x) = 1
$$
这说明 $ x^3 + x^4 $ 是 三阶无穷小。
五、结论
在无穷小的加法运算中，高阶无穷小不会改变低阶无穷小的阶数。因此：
> 三阶无穷小加四阶无穷小等于三阶无穷小。