【线性回归方程的b怎么求】在线性回归分析中，我们常常用到一元线性回归模型：
y = a + bx
其中，a 是截距项，b 是斜率系数，表示自变量 x 每增加一个单位，因变量 y 的平均变化量。
那么，如何计算这个 b 呢？下面将通过公式和实例进行总结说明。
一、基本公式
计算斜率 b 的公式如下：
$$
b = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}
$$
其中：
- $ x_i $ 和 $ y_i $ 分别是第 i 个样本点的自变量和因变量值；
- $ \bar{x} $ 是所有 x 值的平均数；
- $ \bar{y} $ 是所有 y 值的平均数。
这个公式也可以简化为：
$$
b = \frac{n\sum{x_i y_i} - (\sum{x_i})(\sum{y_i})}{n\sum{x_i^2} - (\sum{x_i})^2}
$$
其中 n 是样本数量。
二、步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 收集数据，列出 x 和 y 的对应值 |
| 2 | 计算 $ \sum{x_i} $、$ \sum{y_i} $、$ \sum{x_i y_i} $、$ \sum{x_i^2} $ |
| 3 | 代入公式计算 b 的值 |
| 4 | 用 b 和平均值计算 a（即 $ a = \bar{y} - b\bar{x} $） |
三、示例说明
假设我们有以下数据：
| x | y |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 6 |
计算过程如下：
1. 计算各列总和：
- $ \sum{x} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $
- $ \sum{y} = 2 + 3 + 5 + 6 = 16 $
- $ \sum{xy} = (1×2) + (2×3) + (3×5) + (4×6) = 2 + 6 + 15 + 24 = 47 $
- $ \sum{x^2} = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $
2. 代入公式计算 b：
$$
b = \frac{4×47 - 10×16}{4×30 - 10^2} = \frac{188 - 160}{120 - 100} = \frac{28}{20} = 1.4
$$
3. 计算 a：
$$
\bar{x} = \frac{10}{4} = 2.5,\quad \bar{y} = \frac{16}{4} = 4
$$
$$
a = 4 - 1.4×2.5 = 4 - 3.5 = 0.5
$$
最终得到回归方程为：
y = 0.5 + 1.4x
四、总结表格
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 斜率 b | $ b = \frac{n\sum{x_i y_i} - (\sum{x_i})(\sum{y_i})}{n\sum{x_i^2} - (\sum{x_i})^2} $ | 衡量 x 对 y 的影响程度 |
| 截距 a | $ a = \bar{y} - b\bar{x} $ | 方程与 y 轴的交点 |
| 平均值 | $ \bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n},\quad \bar{y} = \frac{\sum{y_i}}{n} $ | 数据的中心点 |
通过以上方法，可以准确地计算出线性回归方程中的斜率 b。掌握这一方法有助于更好地理解变量之间的关系，并用于预测或解释实际问题。